Một vài ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector x và y,

‖ x + y ‖ 2 {\displaystyle \|x+y\|^{2}} = ⟨ x + y , x + y ⟩ {\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle }
= ‖ x ‖ 2 + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ‖ y ‖ {\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|}
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 | ⟨ x , y ⟩ | + ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}}
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}}
≤ ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 {\displaystyle \leq \left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.